Nabil Hamri

Nabil Hamri Étudiant - Bac+2
Dans Mathématiques | Niveau Bac+3

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Est ce que toutes fonctions qui verifient le théoreme de valeurs intermediare sont mesurable

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3 réponses
Trier les réponses par :
Laureen Dupon
Laureen Dupon
Étudiante - Bac+1
Salut Nabil !

Voici ce que j'ai pu trouver sur le théorème :

Le théorème : 
Soit f une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I = [a, b].
Alors, pour tout réel λ intermédiaire entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c є I tel que f(c) =  
λ.
(Autrement dit, l'équation f(x) = λ admet au moins une solution dans I)

Remarque : 
Le théorème des valeurs intermédiaires s'étend aux intervalles non bornés en ce sens : soit f une fonction dérivable (donc continue) sur un intervalle I. Pour tous a et b de I tels que a < b et pour tout réel λ intermédiaire entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c є I tel que f(c) = λ.


Anonyme
Anonyme
Professionnel
Bonjour,

Pour parler de mesurabilité, il faut préciser la tribu à laquelle appartient ta fonction (ensemble non vide de parties de X, qui permet de définir la notion d'ensemble mesurable).

Prenons cet exemple trouvé sur le net. 
Soit A une partie non mesurable de [0,1], elle est forcément non dénombrable car toute partie dénombrable est mesurable. Il y a donc une bijection croissante de A vers [0,1], appelons-la phi On définit f : [0,1]->R par : f(x)=phi(x) si x appartient à A, et 1 sinon
On peut voir qu'elle vérifie le TVI mais n'est pas mesurable, car l'image réciproque de [0,1[ est non mesurable.

Ce polycopié est très complet sur le sujet : http://www.proba.jussieu.fr/pagepers.../polyLM364.pdf


Nabil Hamri
Nabil Hamri
Étudiant - Bac+2
je vous remercie professeur claude ringer pour cet expemle 

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